6983. В данную окружность впишите данный угол с вершиной на окружности так, чтобы площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой, на которую он опирается, была наибольшей.
Решение. Пусть вершина A
данного угла лежит на данной окружности, а стороны пересекают окружность в точках B
и C
. Отметим на дуге BC
, не содержащей точки A
, точку D
. Рассматриваемая в условии фигура состоит из сегмента ADC
данной окружности и треугольника ABC
. При этом площадь сегмента не зависит от положения точки A
на окружности, а площадь треугольника ABC
с постоянными основанием BC
и противолежащим углом при вершине A
максимальна, если этот треугольник равнобедренный с вершиной A
.
Отсюда вытекает следующее построение. Впишем в окружность произвольный угол, равный данному. Пусть он опирается на дугу BC
. Построим середину A
дуги BC
, содержащей вершину этого угла. Тогда BAC
— искомый угол.