ИПС «Задачи по геометрии»

6984. Пусть

— радиус вписанной окружности треугольника,

h_{a}

— наименьшая высота,

h_{c}

— наибольшая высота. Докажите, что

h_{a}\lt3r\lt h_{c}

.
Указание. См. задачу 5314
Решение. Сумма расстояний от точки, взятой внутри треугольника, до его сторон больше наименьшей и меньше наибольшей высоты треугольника (см. задачу 5314). Сумма расстояний от центра вписанной окружности до сторон треугольника равна

, следовательно,

h_{a}\lt3r\lt h_{c}