6985. Из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой найдите треугольник наибольшей площади.
Ответ. Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Решение. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная на гипотенузу AB=c
, CM
— медиана треугольника. Тогда (см. задачу 1109)
CH\leqslant CM=\frac{1}{2}AB,~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}CH\cdot AB\leqslant\frac{1}{4}AB^{2}=\frac{c^{2}}{4},
причём равенство достигается в случае, когда высота CH
является медианой, т. е. когда треугольник равнобедренный.