6987. Докажите, что из всех треугольников с данной стороной и данным противолежащим углом равнобедренный имеет наибольшую биссектрису, проведённую из вершины этого угла.
Решение. Пусть ABC
— равнобедренный треугольник с вершиной C
, CK
— диаметр его описанной окружности, F
— отличная от C
произвольная точка дуги AB
, не содержащей точки K
.
Точка F
лежит на окружности с диаметром CK
, значит, \angle CFK=90^{\circ}
, а так как CK
— гипотенуза прямоугольного треугольника CFK
, то CK\gt FK
.
Пусть D
и E
— точки пересечения стороны AB
с диаметром CK
и хордой FK
соответственно. Поскольку K
— середина дуги AB
, не содержащей точки C
, луч FK
— биссектриса угла AFB
, а FE
— биссектриса треугольника AFB
. Кроме того, \angle KDE=90^{\circ}
, поэтому DK\lt EK
. Значит, CD+DK\gt FE+EK
. Вычитая из этого неравенства предыдущее, получим, что CD\gt FE
. Что и требовалось доказать.