6993. В четырёхугольнике ABCD
выполняются равенства
AB=BD,~\angle BAC=30^{\circ},~\angle BCA=31^{\circ},~\angle DBC=3^{\circ}.
Найдите \angle BDC
.
Ответ. 59^{\circ}
.
Решение. Пусть B_{1}
— точка, симметричная вершине B
относительно прямой AC
. Тогда
AB=AB_{1},~\angle BAB_{1}=2\angle BAC=60^{\circ}.
Значит, треугольник ABB_{1}
равносторонний, поэтому BB_{1}=BA
. Кроме того, из равнобедренного треугольника BCB_{1}
с углом 62^{\circ}
при вершине находим, что
\angle B_{1}BC=\angle BB_{1}C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-62^{\circ})=59^{\circ}.
На продолжении отрезка B_{1}C
за точку C
отметим точку D_{1}
, для которой BD_{1}=BB_{1}=BA
. Из равнобедренного треугольника BD_{1}B_{1}
получаем, что
\angle BD_{1}B_{1}=\angle BB_{1}D_{1}=\angle BB_{1}C=59^{\circ}.
Значит,
\angle D_{1}BC=\angle BCB_{1}-\angle BD_{1}C=62^{\circ}-59^{\circ}=3^{\circ},
и треугольники CBD_{1}
и CBD
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle BDC=\angle BD_{1}C=59^{\circ}.