7004. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{39}}{4}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCP
— данная правильная треугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=AC=a
, M
— центр равностороннего треугольника ABC
, K
— середина AB
, \angle PAM=\angle PBM=\angle PCM=60^{\circ}
. Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота, а PK
— апофема. Пусть S
— площадь боковой поверхности пирамиды ABCP
. Из прямоугольных треугольников PAM
и PKM
находим, что
PM=AM\tg\angle PAM=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=a,
PK=\sqrt{PM^{2}+KM^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}},
а так как боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники и PK
— высота треугольника ABP
, то
S=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle BCP}+S_{\triangle ACP}=3S_{\triangle ABP}=3\cdot\frac{1}{2}AB\cdot PK=
=3\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}=\frac{3a^{2}\sqrt{13}}{4\sqrt{3}}=\frac{a^{2}\sqrt{39}}{4}.
Второй способ. Пусть ABCP
— данная правильная треугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=AC=a
, M
— центр равностороннего треугольника ABC
, K
— середина AB
, \angle PAM=\angle PBM=\angle PCM=60^{\circ}
. Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота.
Поскольку PK\perp AB
и MK\perp AB
, угол PKM
— линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP
и плоскостью основания ABC
. Из прямоугольного треугольника PKM
находим, что
\tg\beta=\tg\angle PKM=\frac{PM}{MK}=\frac{a}{\frac{a}{2\sqrt{3}}}=2\sqrt{3},
\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\beta}}=\frac{1}{\sqrt{13}},
Пусть S
— площадь боковой поверхности данной пирамиды. Ортогональная проекция боковой поверхности пирамиды на плоскость основания есть треугольник ABC
, поэтому (см. задачу 8093)
S=\frac{S_{\triangle ABC}}{\cos\beta}=\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{\sqrt{13}}}=\frac{a^{2}\sqrt{39}}{4}.
