7011. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
. Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный 45^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{a^{3}}{6}
.
Решение. Пусть ABCDP
— данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=CD=AD=a
, M
— центр квадрата ABCD
, K
— середина отрезка AB
.
Поскольку PK\perp AB
и MK\perp AB
, угол PKM
— линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP
и плоскостью основания пирамиды. По условию \angle PKM=45^{\circ}
.
Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM
— высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM
находим, что PM=MK=\frac{a}{2}
. Следовательно,
V_{ABCDP}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{a}{2}=\frac{a^{3}}{6}.
