7012. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
. Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ. a^{2}\sqrt{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCDP
— данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=CD=AD=a
, M
— центр квадрата ABCD
, K
— середина отрезка AB
, S
— площадь боковой поверхности пирамиды.
Поскольку PK\perp AB
и MK\perp AB
, угол PKM
— линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP
и плоскостью основания пирамиды. По условию \angle PKM=45^{\circ}
.
Апофему PK
пирамиды находим из прямоугольного треугольника PKM
:
PK=\frac{KM}{\cos\angle PKM}=\frac{\frac{a}{2}}{\cos45^{\circ}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, поэтому
S=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle BCP}+S_{\triangle CDP}+S_{\triangle ADP}=
=4S_{\triangle ABP}=4\cdot\frac{1}{2}AB\cdot PK=2a\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=a^{2}\sqrt{2}.
Второй способ. Пусть ABCDP
— данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=CD=AD=a
, M
— центр квадрата ABCD
, K
— середина отрезка AB
, S
— площадь боковой поверхности пирамиды.
Поскольку PK\perp AB
и MK\perp AB
, угол PKM
— линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP
и плоскостью основания пирамиды. По условию \angle PKM=45^{\circ}
. Ортогональная проекция боковой поверхности пирамиды на плоскость основания есть квадрат ABCD
, поэтому
S=\frac{S_{ABCD}}{\cos45^{\circ}}=\frac{a^{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=a^{2}\sqrt{2}.
