7018. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
. Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ. \frac{a(\sqrt{2}-1)}{2}
.
Решение. Пусть ABCDP
— данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=CD=AD=a
, M
— центр квадрата ABCD
, K
и N
— середины отрезков AB
и CD
соответственно.
Поскольку PK\perp AB
и MK\perp AB
, угол PKM
— линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP
и плоскостью основания пирамиды. По условию \angle PKM=45^{\circ}
.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью PKN
. Получим равнобедренный прямоугольный треугольник PKN
и вписанную в него окружность с центром на высоте PM
. Радиус r
этой окружности равен радиусу сферы, вписанной в пирамиду. Следовательно (см. задачу 217),
r=\frac{1}{2}(PK+PN-KN)=\frac{1}{2}\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{a\sqrt{2}}{2}-a\right)=\frac{a(\sqrt{2}-1)}{2}.