7022. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Ответ. \arctg\frac{2}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть ABCDEFP
— данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P
; M
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, K
— середина AB
. Обозначим AB=BC=CD=DE=EF=AF=a
.
Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота. Кроме того, PK\perp AB
и MK\perp AB
. Значит, угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол PKM
, а так как MK
— высота равностороннего треугольника ABM
со стороной a
, то MK=\frac{a\sqrt{3}}{2}
.
Из прямоугольного треугольника PKM
находим, что
\tg\beta=\tg\angle PKM=\frac{PM}{MK}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
