7048. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a
.
Ответ. \frac{a\sqrt{6}}{12}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCD
— правильный тетраэдр с ребром a
, M
— центр грани ABC
, L
— середина BC
, Q
— центр вписанной сферы, r
— её радиус.
Поскольку DL\perp BC
и LM\perp BC
, линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями ABC
и DBC
— это угол DLM
. Обозначим его \beta
. Так как DM
— высота тетраэдра, то треугольник DLM
— прямоугольный. В нём известно, что DL=\frac{a\sqrt{3}}{2}
, LM=\frac{a\sqrt{3}}{6}
. Следовательно,
\cos\beta=\cos\angle DLM=\frac{LM}{DL}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3},~\sin\beta=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Поскольку сфера вписана в двугранный угол, образованный плоскостями ABC
и DBC
, её центр Q
лежит в биссекторной плоскости этого угла.
Проведём сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро AD
и середину L
противоположного ему ребра BC
. Получим треугольник ALD
, стороны AL
и AD
которого касаются окружности радиуса r
с центром Q
на высоте DM
. Из прямоугольного треугольника LMQ
находим, что
r=QM=LM\tg\angle QKM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg\frac{\beta}{2}=
=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{12}.
Второй способ. Пусть ABCD
— правильный тетраэдр с ребром a
, r
— искомый радиус вписанной сферы. Центр сферы, вписанной в правильный тетраэдр, лежит на каждой из четырёх высот тетраэдра. Высоты правильного тетраэдра являются его медианами, а медианы любой треугольной пирамиды пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины. Значит, центр вписанной сферы совпадает с точкой пересечения высот правильного тетраэдра, а радиус равен \frac{1}{4}
высоты тетраэдра. Следовательно,
r=\frac{1}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{12}.
Третий способ. Пусть r
— радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a
, V
— объём тетраэдра, S
— полная поверхность. Тогда
r=\frac{3V}{S}=\frac{\frac{3a^{3}\sqrt{2}}{12}}{a^{2}\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{12}.