7059. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между апофемой и плоскостью соседней боковой грани.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Первый способ. Пусть все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
равны a
, O
— центр основания ABCD
, M
и N
— середины рёбер BC
и CD
соответственно, P
— ортогональная проекция точки M
на плоскость CSD
. Тогда искомый угол между апофемой SM
и плоскостью CSD
— это угол PSM
. Обозначим его \varphi
.
Прямая OM
параллельна плоскости CSD
, так как OM\parallel CB
. Значит, точки O
и P
равноудалены от этой плоскости, поэтому отрезок MP
равен высоте OH
прямоугольного треугольника SON
, проведённой из вершины прямого угла, т. е.
MP=OH=\frac{OM\cdot OS}{SN}=\frac{\frac{a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{6}}
(см. задачу 1967). Следовательно,
\sin\varphi=\frac{MP}{SM}=\frac{\frac{a}{\sqrt{6}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Второй способ. Пусть все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
равны a
, M
и E
— середины отрезков BC
и CS
соответственно. Обозначим искомый угол между апофемой SP
и плоскостью CSD
через \varphi
, а угол между соседними боковыми гранями — через \gamma
.
Из равнобедренного треугольника BED
по теореме косинусов находим, что
\cos\gamma=\cos\angle BED=\frac{BE^{2}+DE^{2}-BD^{2}}{2BE\cdot DE}=\frac{\frac{3}{4}a^{2}+\frac{3}{4}a^{2}-2a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{3},
значит, \sin\gamma=\frac{2\sqrt{2}}{3}
. Следовательно, по теореме о трёх синусах (см. задачу 9755)
\sin\varphi=\sin\beta\sin\angle CSM=\sin\beta\sin30^{\circ}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}.