7071. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
, боковое ребро образует с плоскостью основания угол \alpha
. Найдите радиус описанного шара.
Ответ. \frac{a\sqrt{3}}{3\sin2\alpha}
.
Указание. Проведите сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофему и противолежащее боковое ребро; примените теорему синусов.
Решение. Первый способ. Рассмотрим сечение правильной треугольной пирамиды ABCP
(P
— вершина пирамиды) плоскостью, проходящей через точки P
, A
и M
(центр основания ABC
). В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R
описанной сферы.
Продолжим отрезок AM
за точку M
до пересечения с этой окружностью в точке A_{1}
. Тогда равнобедренный треугольник APA_{1}
вписан в окружность радиуса R
. Из прямоугольного треугольника PMA
находим, что
AP=\frac{AM}{\cos\angle PAM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\cos\alpha},
а так как PA_{1}=PA
, по известной формуле для радиуса описанной окружности (теорема синусов) находим, что
R=\frac{PA_{1}}{2\sin\angle PAM}=\frac{\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\cos\alpha}}{2\sin\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{3\cdot2\cos\alpha\sin\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{3\sin2\alpha}.
Второй способ. Рассмотрим сечение правильной треугольной пирамиды ABCP
(P
— вершина пирамиды) плоскостью, проходящей через точки P
, A
и M
(центр основания ABC
). В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R
описанной сферы.
Продолжим отрезок PM
за точку M
до пересечения с этой окружностью в точке Q
. Поскольку PQ
— диаметр окружности, \angle PAQ=90^{\circ}
, а AM
— высота прямоугольного треугольника PAQ
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, MA^{2}=PM\cdot MQ
, или
\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\tg\alpha\left(2R-\frac{a\sqrt{3}}{3}\tg\alpha\right),
Откуда находим, что
R=\frac{a(1+\tg^{2})\alpha}{\sqrt{3}\tg\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{3\sin2\alpha}.