7077. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
, боковая грань образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите радиус вписанной сферы.
Ответ. r=\frac{a\sqrt{3}}{6}
.
Решение. Пусть M
— центр основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP
; K
и L
— середины BC
и AD
соответственно. Сфера с центром O
радиуса r
, вписанная в данную пирамиду, касается плоскости основания в точке M
, а плоскости боковой грани BPC
— в точке, лежащей на апофеме PK
.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью KPL
. Эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса r
, вписанной в равносторонний треугольник KPL
. Следовательно, r=OM=\frac{a\sqrt{3}}{6}
.
