7081. Расстояние между противоположными рёбрами правильной треугольной пирамиды равно \frac{3}{8}
её бокового ребра. Найдите угол апофемы с соседней боковой гранью.
Ответ. \arcsin\frac{3\sqrt{39}}{25}
.
Решение. Пусть ABCP
— данная правильная треугольная пирамида с вершиной P
; AB=BC=AC=a
; M
— центр треугольника ABC
; K
, L
и N
— середины отрезков AB
, BC
и AC
соответственно.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины B
на прямую AP
. Тогда прямая AP
перпендикулярна плоскости треугольника BFC
. Поэтому FL\perp AP
. С другой стороны, FL
— медиана равнобедренного треугольника BFC
, поэтому FL\perp BC
. Следовательно, FL
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP
и BC
. По условию задачи FL=\frac{3}{8}a
.
Пусть \alpha
— угол бокового ребра данной пирамиды с плоскостью её основания. Из прямоугольного треугольника AFL
находим, что
\sin\alpha=\sin\angle FAL=\frac{FL}{AL}=\frac{\frac{3}{8}a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{\sqrt{13}}{4},~\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}},
AP=\frac{AM}{\cos\alpha}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{13}}{4}}=\frac{4a\sqrt{3}}{3\sqrt{13}},
PM=AM\cdot\tg\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{a}{\sqrt{13}}.
Обозначим через \beta
угол боковой грани пирамиды с плоскостью её основания. Из прямоугольного треугольника PML
находим, что
\tg\beta=\frac{PM}{ML}=\frac{\frac{a\sqrt{13}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}},
\cos\beta=\frac{\sqrt{13}}{5},~\sin\beta=\frac{\sqrt{12}}{5}.
Пусть \varphi
— угол между апофемой PL
и плоскостью грани APC
, D
— ортогональная проекция точки L
на плоскость грани APC
. Тогда искомый угол \varphi
— это угол LPD
, а
\sin\varphi=\frac{LD}{PL}.
Таким образом, для решения задачи нужно найти апофему пирамиды и расстояние от точки L
до плоскости грани APC
. Апофему PL
найдём из прямоугольного треугольника PLM
:
PL=\sqrt{PM^{2}+ML^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{13}}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}}=\frac{5a}{2\sqrt{39}}.
Поскольку L
— середина наклонной BC
к плоскости грани APC
, расстояние LD
вдвое меньше расстояния от точки B
до этой плоскости. Пусть BG
— высота треугольника PBN
. Тогда BG
перпендикулярно плоскости грани APC
, поэтому LD=\frac{1}{2}BG
.
Из прямоугольного треугольника BGN
находим, что
BG=BN\sin\angle BNP=BN\sin\beta=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{12}}{5}=\frac{3a}{5},~LD=\frac{3a}{10}.
Следовательно,
\sin\varphi=\frac{LD}{PL}=\frac{\frac{3a}{10}}{\frac{5a}{2\sqrt{39}}}=\frac{3\sqrt{39}}{25}.