7105. Докажите, что через данную точку можно провести плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым, и притом только одну.
Указание. Пусть M
— данная точка, a
и b
— данные скрещивающиеся прямые. Через точку M
проведите прямые a'
и b'
, соответственно параллельные прямым a
и b
.
Решение. Пусть M
— данная точка, a
и b
— данные скрещивающиеся прямые. Через точку M
проведём прямые a'
и b'
, соответственно параллельные прямым a
и b
. Через пересекающиеся прямые a'
и b'
проведём плоскость \alpha
. Эта плоскость параллельна каждой из прямых a
и b
, поскольку она содержит параллельные им прямые.
Пусть \beta
— ещё одна плоскость, проходящая через точку M
параллельно прямым a
и b
. Плоскость, проведённая через точку M
и прямую a
, пересекает плоскость \beta
по прямой, проходящей через точку M
параллельно прямой a
, т. е. по прямой a'
(через данную точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой). Аналогично докажем, что плоскость \beta
проходит и через прямую b'
. Поскольку через две пересекающиеся прямые (a'
и b'
) можно провести единственную плоскость, плоскость \beta
совпадает с плоскостью \alpha
.