7109. Дана треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Точки M
, N
и K
— середины рёбер BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что прямые MA_{1}
, NB_{1}
и KC_{1}
пересекаются в одной точке.
Указание. Докажите, что любые два из этих отрезков пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении 1:2
.
Решение. Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
, MN\parallel AB
и MN=\frac{1}{2}AB
, поэтому MN\parallel A_{1}B_{1}
и MN=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}
.
Проведём плоскость через параллельные прямые MN
и A_{1}B_{1}
. Эта плоскость пересекает данную призму по трапеции A_{1}B_{1}MN
, у которой основание A_{1}B_{1}
вдвое больше основания MN
, поэтому диагонали A_{1}M
и B_{1}N
делятся точкой их пересечения в одном и том же отношении:
MO:OA_{1}=NO:OB_{1}=1:2.
Аналогично докажем, что отрезок KC_{1}
пересекается с каждым из отрезков MA_{1}
и NB_{1}
и делится ими в том же отношении. Следовательно, все три указанных отрезка проходят через точку O
.
