7116. На рёбрах AB
, BC
и AD
тетраэдра ABCD
взяты точки K
, N
и M
соответственно, причём AK:KB=BN:NC=2:1
, AM:MD=3:1
. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K
, M
и N
. В каком отношении эта плоскость делит ребро CD
?
Ответ. 4:3
.
Решение. Пусть P
— точка пересечения прямых KN
и AC
(рис. 1). Точки P
и M
принадлежат плоскостям MNK
и ACD
, поэтому MP
— прямая пересечения этих плоскостей. Пусть F
— точка пересечения прямых MP
и CD
. Тогда четырёхугольник MKNF
— искомое сечение.
Рассмотрим плоскость треугольника ABC
(рис. 2). Через вершину B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть T
— точка пересечения проведённой прямой с прямой NK
. Из подобия треугольников TNB
и PNC
следует, что
BT=CP\cdot\frac{BN}{NC}=2CP,
а из подобия треугольников TKB
и PKA
—
BT=AP\cdot\frac{BK}{AK}=\frac{1}{2}AP,
значит,
CP=\frac{1}{4}AP,~CP=\frac{1}{3}AC.
аналогично, получим, что
\frac{DF}{FC}=\frac{4}{3}.