7118. Через середины M
и N
рёбер соответственно AA_{1}
и C_{1}D_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проведена плоскость параллельно диагонали BD
основания. Постройте сечение параллелепипеда этой плоскостью. В каком отношении она делит диагональ A_{1}C
?
Ответ. 3:7
, считая от вершины A_{1}
.
Указание. Секущая плоскость пересекает основание A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
по прямой, параллельной B_{1}D_{1}
.
Решение. Продолжим среднюю линию NK
треугольника B_{1}C_{1}D_{1}
до пересечения с прямой A_{1}B_{1}
в точке X
, а с прямой A_{1}D_{1}
в точке Y
(рис. 1). Пусть отрезки MX
и BB_{1}
пересекаются в точке L
, а отрезки MY
и DD_{1}
— в точке P
. Тогда пятиугольник MLKNP
— искомое сечение, так как секущая плоскость содержит прямую KN
, параллельную D_{1}B_{1}
.
Пусть A_{1}C_{1}
и NK
пересекаются в точке Q
. Тогда секущая плоскость и плоскость диагонального сечения ACC_{1}A_{1}
пересекаются по прямой MQ
, а точка O
пересечения прямых A_{1}C
и MQ
, лежащих в плоскости диагонального сечения, — есть искомая точка пересечения прямой A_{1}C
с секущей плоскостью.
Рассмотрим параллелограмм ACC_{1}A_{1}
(рис. 2). Положим AC=4x
. Продолжим QM
до пересечения с прямой AC
в точке T
. Из равенства треугольников AMT
и A_{1}MQ
следует, что
AT=A_{1}Q=\frac{3}{4}A_{1}C_{1}=\frac{3}{4}\cdot4x=3x.
Тогда CT=AT+AC=3x+4x=7x
, а так как треугольники A_{1}OQ
и COT
подобны, то
\frac{OA_{1}}{OC}=\frac{A_{1}Q}{CT}=\frac{3x}{7x}=\frac{3}{7}.