7126. Дана четырёхугольная пирамида SABCD
, основание которой — параллелограмм ABCD
. Через середину ребра AB
проведите плоскость, параллельную прямым AC
и SD
. В каком отношении эта плоскость делит ребро SB
?
Ответ. 1:3
.
Указание. Плоскости ABCD
и SBD
пересекают секущую плоскость по прямым, соответственно параллельным AC
и SD
.
Решение. Пусть M
— середина AB
. Плоскость основания ABCD
пересекает секущую плоскость по прямой a
, проходящей через точку M
, а так как прямая AC
параллельна секущей плоскости, то a\parallel AC
. Аналогично докажем, что плоскость SBD
пересекает секущую плоскость по прямой, параллельной SD
. Отсюда вытекает следующее построение.
Через точку M
проведём прямую a
, параллельную AC
. Пусть прямая a
пересекает BD
и BC
в точках K
и N
соответственно. Через точку K
проведём прямую, параллельную ребру SD
, до пересечения с ребром SB
в точке P
. Треугольник MPN
— искомое сечение.
Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
, точка K
— середина OB
, поэтому BK:KD=1:3
, а так как KP\parallel SD
, то BP:PS=BK:KD=1:3
.
