7131. Через середины M
и N
рёбер AD
и CC_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проведена плоскость параллельно диагонали DB_{1}
. Постройте сечение параллелепипеда этой плоскостью. В каком отношении она делит ребро BB_{1}
?
Ответ. 5:1
.
Решение. Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые AD
и B_{1}C_{1}
. Проведём в этой плоскости через точку M
прямую, параллельную DB_{1}
. Пусть T
— точка пересечения этой прямой с прямой C_{1}B_{1}
, K
— точка пересечения прямой TN
с ребром BB_{1}
. Плоскость MNK
параллельна прямой DB_{1}
, поскольку она содержит прямую MT
, параллельную DB_{1}
.
Пусть прямая KN
пересекает прямую BC
в точке S
, прямая MS
пересекает ребро CD
в точке P
, а прямую AB
— в точке L
, прямая LK
пересекает ребро AA_{1}
в точке Q
. Тогда пятиугольник MPNKQ
— искомое сечение.
Обозначим AD=a
. Тогда
TB_{1}=MD=\frac{a}{2}.
Из равенства треугольников TNC_{1}
и SNC
следует, что
CS=TC_{1}=B_{1}C_{1}+TB_{1}=\frac{3a}{2},
а из подобия треугольников SBK
и TB_{1}K
—
BK:KB_{1}=BS:TB_{1}=\frac{5a}{2}:\frac{a}{2}=5:1.