7137. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
; M
— середина AB
, N
— середина SC
. В каком отношении плоскость BSD
делит отрезок MN
?
Ответ. 1:1
.
Указание. Пусть прямые CM
и BD
пересекаются в точке K
. Тогда плоскости CMS
и BSD
пересекаются по прямой SK
. Точка P
пересечения прямых SK
и MN
есть точка пересечения прямой MN
с плоскостью BSD
.
Решение. Пусть прямые CM
и BD
пересекаются в точке K
(рис. 1). Тогда плоскости CMS
и BSD
пересекаются по прямой SK
. Точка P
пересечения прямых SK
и MN
есть точка пересечения прямой MN
с плоскостью BSD
.
В параллелограмме ABCD
\frac{MK}{KC}=\frac{BM}{CD}=\frac{BM}{AB}=\frac{1}{2}.
Рассмотрим плоскость треугольника CMS
(рис. 2). Через вершину M
проведём прямую, параллельную стороне SC
. Пусть T
— точка пересечения этой прямой с продолжением SK
. Тогда
MT=SC\cdot\frac{MK}{KC}=\frac{1}{2}SC=SN.
Следовательно,
\frac{MP}{PN}=\frac{MT}{SN}=1.