7138. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны, а диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— параллелепипед, т. е. призма, основания ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
которой — равные параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях. Тогда AB\parallel CD
как противоположные стороны параллелограмма, а AA_{1}\parallel DD_{1}
как боковые рёбра призмы, значит, плоскости граней ABB_{1}A_{1}
и DCC_{1}D_{1}
параллельны по признаку параллельности плоскостей. При параллельном переносе, переводящем вершину A
в вершину D
, вершина B
переходит в C
, B_{1}
— в C_{1}
, A_{1}
— в D_{1}
. Поэтому грань ABB_{1}A
переходит в грань DCC_{1}D_{1}
. Следовательно, эти грани равны. Аналогично докажем, что равны грани ADD_{1}C_{1}
и BCC_{1}B_{1}
Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через параллельные прямые AB
и C_{1}D_{1}
. Диагонали AC_{1}
и BD_{1}
параллелограмма ABC_{1}D_{1}
точкой пересечения O
делятся пополам. Диагонали A_{1}C
и BD_{1}
параллелограмма BCD_{1}A_{1}
также делятся пополам, значит, диагональ A_{1}C
также проходит через точку O
. Аналогично для диагонали DB_{1}
.