7142. В данный шар впишите правильную треугольную призму, имеющую наибольшую площадь боковой поверхности.
Решение. Пусть S
— площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
со стороной основания AB=a
и высотой AA_{1}=h
, вписанной в шар с центром O
; H
и H_{1}
— центры оснований ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно. Тогда
OH=\frac{1}{2}HH_{1}=\frac{h}{2},~OA=R,~HA=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Из прямоугольного треугольника OHA
находим, что HA^{2}=OA^{2}-OH^{2}
, или
\frac{a^{2}}{3}=R^{2}-\frac{h^{2}}{4},~a^{2}=3\left(R^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right)=\frac{3}{4}(4R^{2}-h^{2}).
Обозначим h^{2}=t
и рассмотрим на промежутке 0\lt t\lt4R^{2}
функцию
f(t)=S^{2}=(3ah)^{2}=9a^{2}h^{2}=9a^{2}t=\frac{27}{4}(4R^{2}-t)t,
положительную на этом промежутке. Тогда
f(t)=\frac{27}{4}(4R^{2}-t)t\leqslant\frac{27}{4}\left(\frac{4R^{2}-t+t}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}\cdot4R^{4}=27R^{4},
причём равенство достигается в случае, когда 4R^{2}-t=t
, т. е. при t=2R^{2}
. Значит, наибольшее значение этой функции на промежутке (0;4R^{2})
достигается при t=2R^{2}
, а так как эта функция на рассматриваемом промежутке положительна, то функция S(h)=3h\sqrt{\frac{3}{4}(4R^{2}-h^{2})}
на промежутке (0;2R)
принимает наибольшее значение при h=R\sqrt{2}
.