7144. Докажите, что если все грани тетраэдра имеют равные периметры, то противоположные рёбра тетраэдра попарно равны.
Решение. Рассмотрим тетраэдр ABCD
, в котором DA=x
, DB=y
, DC=z
, BC=a
, AC=b
, AB=c
. Из условия задачи следует, что
x+y=a+b,~a+y=b+x,
поэтому
x=a+b-y=a+b-(b+x-a)=2a-x.
Отсюда получаем, что x=a
. Аналогично y=b
и z=c
. Следовательно, тетраэдр равногранный (см. задачу 7266).