7147. Дан тетраэдр ABCD
с прямыми плоскими углами при вершине D
. Площади граней BCD
, ACD
и ABD
равны соответственно S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
. Найдите объём тетраэдра.
Ответ. \frac{1}{3}\sqrt{2S_{1}S_{2}S_{3}}
.
Решение. Первый способ. Обозначим DA=a
, DB=b
и DC=c
. Тогда
\syst{\frac{1}{2}bc=S_{1}\\\frac{1}{2}ac=S_{2}\\\frac{1}{2}ab=S_{3}.}
перемножив два первых уравнения системы и разделив результат на третье, получим, что c^{2}=\frac{2S_{1}S_{2}}{S_{3}}
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}\cdot c=\frac{1}{3}S_{3}\cdot\sqrt{\frac{2S_{1}S_{2}}{S_{3}}}=\frac{1}{3}\sqrt{2S_{1}S_{2}S_{3}}.
Второй способ. Пусть объём пирамиды равен V
, а боковые рёбра DA
, DB
и DC
пирамиды SABC
равны a
, b
и c
соответственно, причём
S_{1}=S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}bc,~S_{2}=S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}ac,~S_{3}=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}ab.
Перемножив эти равенства и учитывая, что объём пирамиды ABCD
равен шестой части объёма прямоугольного параллелепипеда с измерениями a
, b
и c
, т. е. \frac{1}{6}abc
, получим
S_{1}S_{1}S_{3}=\frac{1}{8}a^{2}b^{2}c^{2}=\frac{1}{8}(abc)^{2}=\frac{36}{8}\cdot\left(\frac{1}{6}abc\right)^{2}=\frac{9}{2}V^{2},
откуда
V=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot\sqrt{S_{1}S_{2}S_{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{2S_{1}S_{2}S_{3}}.