7165. Основание пирамиды — прямоугольник с диагональю b
и углом в 60^{\circ}
между диагоналями. Каждое из боковых рёбер образует с плоскостью основания угол в 45^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{b^{3}\sqrt{3}}{24}
.
Указание. Докажите, что высота данной пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей прямоугольника основания.
Решение. Пусть прямоугольник ABCD
— основание пирамиды PABCD
, причём угол между диагоналями AC
и BD
равен 60^{\circ}
, AC=BD=b
. Если PH
высота этой пирамиды, то из равенства прямоугольных треугольников APH
, BPH
, CPH
и DPH
по катету и острому углу следует, что точка H
равноудалена от всех вершин прямоугольника ABCD
, поэтому H
— центр окружности, описанной около прямоугольника ABCD
, т. е. точка пересечения его диагоналей.
Из прямоугольного треугольника APH
находим, что
PH=AH\tg\angle DAH=\frac{1}{2}b\tg45^{\circ}=\frac{b}{2}.
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin60^{\circ}\cdot PH=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{b}{2}\cdot b\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{b}{2}=\frac{b^{3}\sqrt{3}}{24}.