7166. Каждое из боковых рёбер пирамиды равно \frac{269}{32}
. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{483}{8}
.
Указание. Высота данной пирамиды проходит через центр окружности, описанной около треугольника основания.
Решение. Пусть DH
— высота треугольной пирамиды ABCD
, в которой AD=BD=CD=\frac{269}{32}
, c=AB=13
, a=BC=14
, b=AC=15
. Поскольку DH
— перпендикуляр к плоскости ABC
, отрезки AH
, BH
и CH
— проекции равных наклонных AH
, BH
и CH
на плоскость ABC
. Поэтому AH=BH=CH
, т. е. H
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
Площадь треугольника ABC
находим по формуле Герона:
S_{\triangle ABC}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=7\cdot3\cdot4=84.
Затем находим радиус R
окружности, описанной около треугольника ABC
:
R=\frac{abc}{4S_{\triangle ABC}}=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8}.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADH
находим высоту DH
пирамиды:
DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{AD^{2}-R^{2}}=\sqrt{\left(\frac{269}{32}\right)^{2}-\left(\frac{65}{8}\right)^{2}}=
=\sqrt{\left(\frac{269}{32}\right)^{2}-\left(\frac{260}{32}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{269^{2}-260^{2}}}{32}=
=\frac{\sqrt{(269-260)(269+260)}}{32}=\frac{\sqrt{9\cdot529}}{32}=3\cdot\frac{23}{32}=\frac{69}{32}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot84\cdot\frac{69}{32}=84\cdot\frac{23}{32}=21\cdot\frac{23}{8}=\frac{483}{8}.