7172. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. а) Докажите, что AA_{1}
и BC
— скрещивающиеся прямые; б) постройте их общий перпендикуляр; в) найдите расстояние между этими прямыми.
Ответ. а) AB
; в) a
.
Указание. Если прямая a
лежит в плоскости \alpha
, а прямая b
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой a
, то a
и b
— скрещивающиеся прямые.
Решение. Поскольку прямая BC
лежит в плоскости грани ABCD
, а прямая AA_{1}
пересекает эту плоскость в точке A
, не лежащей на прямой BC
, то прямые BC
и AA_{1}
— скрещивающиеся (признак скрещивающихся прямых), а так как AB\perp AA_{1}
и AB\perp BC
, то AB
— общий перпендикуляр прямых BC
и AA_{1}
. Его длина равна a
.