7181. Необходимое и достаточное условие вписанной пирамиды. Докажите, что около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать окружность.
Указание. Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от вершин вписанного многоугольника, есть прямая, проходящая через центр этого многоугольника перпендикулярно его плоскости.
Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от точек A
и B
, есть плоскость, перпендикулярная отрезку AB
и проходящая через его середину.
Решение. Пусть PA_{1}A_{2}\dots A_{n}
— пирамида с вершиной P
. Если около этой пирамиды можно описать сферу, то плоскость основания A_{1}A_{2}\dots A_{n}
пересекается с этой сферой по окружности, в которую вписан многоугольник A_{1}A_{2}\dots A_{n}
.
Пусть около основания A_{1}A_{2}\dots A_{n}
пирамиды PA_{1}A_{2}\dots A_{n}
можно описать окружность с центром Q
. Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от вершин основания A_{1}A_{2}\dots A_{n}
, есть прямая a
, проходящая через точку Q
перпендикулярно плоскости основания A_{1}A_{2}\dots A_{n}
. Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от точек P
и A_{1}
, есть плоскость \alpha
, перпендикулярная отрезку PA_{1}
и проходящая через его середину.
Предположим, что прямая a
параллельна плоскости \alpha
. Тогда прямая a
перпендикулярна прямой PA_{1}
, а значит, PA_{1}
лежит в плоскости основания A_{1}A_{2}\dots A_{n}
, что невозможно, так как точка P
не лежит в плоскости основания пирамиды.
Таким образом, прямая a
и плоскость \alpha
пересекаются в некоторой точке O
, равноудалённой от всех вершин пирамиды PA_{1}A_{2}\dots A_{n}
. Следовательно, O
— центр сферы, описанной около этой пирамиды.