7187. Две грани треугольной пирамиды — равносторонние треугольники со стороной a
. Две другие грани — равнобедренные прямоугольные треугольники. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.
Ответ. \frac{a}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+2)}=\frac{a\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{2}
.
Указание. Пусть ABC
и ABD
— равносторонние треугольники со стороной a
, а BCD
и ACD
— равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой CD
. Боковые рёбра пирамиды с вершиной A
и основанием BCD
равны.
Решение. Пусть ABC
и ABD
— равносторонние треугольники со стороной a
, а BCD
и ACD
— равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой CD
. Тогда CD=a\sqrt{2}
.
Боковые рёбра AB
, AC
и AD
треугольной пирамиды ABCD
с основанием BCD
равны, поэтому её высота AH
проходит через центр окружности, описанной около треугольника BCD
, т. е. H
— середина гипотенузы CD
этого треугольника. Тогда
AH=\frac{1}{2}CD=\frac{a\sqrt{2}}{2},
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot AH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}a\cdot a\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}.
Пусть r
— радиус шара, вписанного в данную пирамиду, S
— полная поверхность пирамиды. Тогда
S=2S_{\triangle ABC}+2S_{\triangle BCD}=a^{2}+\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}}{2}(2+\sqrt{3}).
Следовательно,
r=\frac{3V_{ABCD}}{S}=\frac{\frac{3a^{3}\sqrt{2}}{12}}{\frac{a^{2}(2+\sqrt{3})}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{3})}=\frac{a\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{2}.