7188. Шар радиуса r
касается всех боковых граней треугольной пирамиды в серединах сторон её основания. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром шара, делится пополам точкой пересечения с основанием пирамиды. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{r^{3}\sqrt{6}}{4}
.
Указание. Докажите, что отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром шара, перпендикулярен плоскости основания пирамиды, а основание пирамиды — равносторонний треугольник.
Решение. Пусть сфера радиуса r
с центром O
касается боковых граней ADB
, BDC
и ADC
в серединах соответственно C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
сторон AB
, BC
и AC
основания ABCD
, а плоскость основания пересекает отрезок DO
в его середине H
.
Прямоугольные треугольники OC_{1}D
, OA_{1}D
и OB_{1}D
равны по гипотенузе и катету, поэтому DC_{1}=DA_{1}=DB_{1}
. Высота DP
треугольной пирамиды A_{1}B_{1}C_{1}D
с равными боковыми рёбрами DC_{1}
, DA_{1}
и DB_{1}
проходит через центр окружности, описанной около основания A_{1}B_{1}C_{1}
. Высота OQ
треугольной пирамиды A_{1}B_{1}C_{1}O
с равными боковыми рёбрами OC_{1}
, OA_{1}
и OB_{1}
проходит через центр окружности, описанной около основания A_{1}B_{1}C_{1}
. Значит, точки P
и Q
совпадают с точкой H
и прямая OD
перпендикулярна плоскости ABC
.
Поскольку H
— середина OD
, высота C_{1}H
прямоугольного треугольника OC_{1}D
является его медианой, поэтому DC_{1}=OC_{1}=r
. Аналогично, DA_{1}=DB_{1}=r
.
Плоскость ABC
пересекает данную сферу по окружности, вписанной в треугольник ABC
. Эта окружность проходит через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, поэтому она описана около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Так как AB_{1}=AC_{1}
, AB_{1}=\frac{1}{2}AC
и AC_{1}=\frac{1}{2}AB
, то AC=AB
. Аналогично, AB=BC
. Значит, треугольник ABC
— равносторонний. Из прямоугольного треугольника ODC_{1}
находим, что
C_{1}H=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}r\sqrt{2}.
Тогда
CC_{1}=3C_{1}H=\frac{3}{2}r\sqrt{2},~AC_{1}=C_{1}H\tg60^{\circ}=\frac{1}{2}r\sqrt{2}\cdot\sqrt{3},
AB=2AC_{1}=r\sqrt{2}\cdot\sqrt{3},
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CC_{1}=\frac{1}{2}r\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}r\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot3r\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot3r\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}r\sqrt{2}=\frac{r^{3}\sqrt{6}}{4}.