7190. В треугольной пирамиде SABC
боковое ребро SC
равно ребру AB
и наклонено к плоскости основания ABC
под углом 60^{\circ}
. Известно, что вершины A
, B
, C
и середины боковых рёбер пирамиды расположены на сфере радиуса 1. Докажите, что центр этой сферы лежит на ребре AB
, и найдите высоту пирамиды.
Ответ. \sqrt{3}
.
Указание. Докажите, что боковые рёбра данной пирамиды равны. Отсюда будет следовать, что высота проходит через центр окружности, описанной около основания.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины боковых рёбер SA
, SB
и SC
соответственно. Тогда A_{1}B_{1}
, B_{1}C_{1}
и A_{1}C_{1}
— средние линии треугольников ASB
, BSC
и ASC
, поэтому
A_{1}B_{1}\parallel AB,~B_{1}C_{1}\parallel BC,~A_{1}C_{1}\parallel AC.
Плоскость боковой грани ASB
пересекает указанную сферу по окружности, описанной около трапеции AA_{1}B_{1}C
, значит, эта трапеция — равнобедренная, т. е. AA_{1}=BB_{1}
. Аналогично, AA_{1}=CC_{1}
. Поэтому AS=BS=CS
. Значит, высота SH
пирамиды проходит через центр описанной окружности треугольника ABC
.
Из прямоугольного треугольника CHS
находим, что
CH=SC\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}AB.
Тогда
AH+BH=CH+CH=2CH=AB,
значит, точка H
лежит на отрезке AB
и является его серединой. Кроме того, AB=SC=SA=SB
, поэтому треугольник ASB
равносторонний и
HA_{1}=HB_{1}=HA=HB=HC=HC_{1},
так как HC_{1}
— медиана прямоугольного треугольника CHS
, проведённая к гипотенузе (см. задачу 1109). Следовательно, H
— центр сферы, проходящей через точки A
, B
, C
, A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, а
SH=HC\tg\angle CHS=1\cdot\tg60^{\circ}=\sqrt{3}.