7209. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух рёбер основания и середину одного из боковых рёбер.
Ответ. \frac{1}{4}ab
или \frac{a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{16}
.
Указание. В сечении получится прямоугольник или равнобедренный треугольник.
Решение. Пусть K
и L
— середины сторон BC
и AB
основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
, M
— середина бокового ребра CD
(рис. 1). Поскольку KL
— средняя линия треугольника ABC
,
KL=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a,~KL\parallel AC.
Поэтому прямая KL
параллельна плоскости грани ADC
.
Секущая плоскость проходит через прямую KL
, параллельную плоскости грани ACD
, и имеет с этой гранью общую точку M
. Поэтому она пересекает эту плоскость по прямой, проходящей через точку M
параллельно прямой KL
, а значит, и прямой AC
. Следовательно, MN
— средняя линия треугольника ACD
, где N
— точка пересечения секущей плоскости ребром AD
.
Поскольку MN\parallel KL
и MN=\frac{1}{2}AC=KL
, четырёхугольник KLMN
— параллелограмм; MK
и NL
— средние линии треугольников CBD
и ABD
соответственно, MK=NL=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}b
.
Поскольку пирамида правильная, BD\perp AC,
а так как MK\parallel BD
и KL\parallel AC
, то MK\perp KL
, т. е. KLMN
— прямоугольник. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot MK=\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab.
Если M
— середина бокового ребра BD
(рис. 2), то в сечении получится треугольник, подобный равнобедренному треугольнику ADC
. В этом случае искомая площадь равна \frac{a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{16}
.