7210. Угол между противоположными рёбрами AB
и CD
пирамиды ABCD
равен \alpha
, AB=a
, CD=b
. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BC
параллельно прямым AB
и CD
.
Ответ. \frac{1}{4}ab\sin\alpha
.
Указание. В сечении получится параллелограмм со сторонами \frac{1}{2}a
, \frac{1}{2}b
и углом между ними, равным углу между скрещивающимися прямыми AB
и CD
.
Решение. Пусть K
— середина BC
, а секущая плоскость пересекает рёбра AC
, AD
и BD
в точках L
, M
и N
соответственно. Плоскость BCD
проходит через прямую CD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K
, поэтому прямая пересечения этих плоскостей параллельна прямой CD
. Значит, KN
— средняя линия треугольника BCD
. Аналогично KL
, ML
и MN
— средние линии треугольников ABC
, ADC
и ABD
соответственно. Таким образом, сечение KLMN
— параллелограмм со сторонами \frac{1}{2}a
, \frac{1}{2}b
и углом между ними, равным углу между скрещивающимися прямыми AB
и CD
, т. е. \alpha
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN\sin\alpha=\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b\cdot\sin\alpha=\frac{1}{4}ab\sin\alpha.