7219. Грань ABC
тетраэдра ABCD
— прямоугольный треугольник с гипотенузой AB
, грань BCD
— равносторонний треугольник. Найдите ребро AD
, если BC=2
, AC=3
и двугранный угол тетраэдра при ребре BC
равен 30^{\circ}
.
Ответ. 2.
Указание. Пусть M
— середина BC
. Тогда \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}
. Вычислите скалярный квадрат вектора \overrightarrow{AD}
.
Решение. Пусть DM
— высота равностороннего треугольника BCD
. Тогда DM=\sqrt{3}
. Угол между векторами \overrightarrow{AC}
и \overrightarrow{MD}
равен 150^{\circ}
,
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CM}=0,~\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{MD}=0,~\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD},
значит,
AD^{2}=\overrightarrow{AD}^{2}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD})^{2}=
=AC^{2}+CM^{2}+MD^{2}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CM}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{MD}=
=9+1+3+0-2\cdot3\cdot\sqrt{3}\cos30^{\circ}+0=13-9=4.
Следовательно, AD=2
.