7227. Постройте сечение треугольной пирамиды ABCD
плоскостью, проходящей через середины M
и N
рёбер AC
и BD
и точку K
ребра CD
, для которой CK:KD=1:2
. В каком отношении эта плоскость делит ребро AB
?
Ответ. 1:2
.
Указание. Для построения сечения продолжите KM
до пересечения с прямой AD
. Рассмотрите плоскость треугольника ACD
. Через вершину C
проведите прямую, параллельную AD
, и рассмотрите полученные подобные треугольники.
Решение. Пусть прямые KM
и AD
пересекаются в точке R
(рис. 1). Тогда точка R
лежит на прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани ADB
(так как R
— общая точка прямых, лежащих в этих плоскостях).
Пусть прямая RN
пересекает ребро AB
в точке L
. Тогда L
— точка пересечения секущей плоскости с ребром AB
. Следовательно, искомое сечение — четырёхугольник KMLN
.
Проведём через вершину C
прямую, параллельную DR
, до пересечения с прямой MK
в точке P
(рис. 2). Из подобия треугольников DKR
и CKP
(по двум углам) следует, что
DR=CP\cdot\frac{DK}{KC}=2CP,
а из равенства треугольников AMR
и CMP
следует, что AR=CP
. Следовательно, AR=\frac{1}{2}DR
, т. е. A
— середина DR
.
Проведём через вершину B
прямую, параллельную DR
, до пересечения с прямой RN
в точке Q
(рис. 3). Из равенства треугольников BNQ
и DNR
следует, что BQ=DR
, а из подобия треугольников ALR
и BLQ
находим, что
\frac{AL}{LB}=\frac{AR}{BQ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{DR}{DR}=\frac{1}{2}.