7234. На скрещивающихся прямых l
и m
взяты отрезки AB
и CD
соответственно. Докажите, что объём пирамиды ABCD
не зависит от положения отрезков AB
и CD
на этих прямых. Найдите этот объём, если AB=a
, CD=b
, а угол и расстояние между прямыми l
и m
равны соответственно \alpha
и c
.
Ответ. \frac{1}{6}abc\sin\alpha
.
Указание. Достройте тетраэдр ABCD
до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра AB
и CD
, AD
и BC
, AC
и BD
пары параллельных плоскостей.
Решение. Достроим тетраэдр ABCD
до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра AB
и CD
, AD
и BC
, AC
и BD
пары параллельных плоскостей. Высота параллелепипеда равна расстоянию между параллельными плоскостями, одна из которых содержит прямую AB
, а вторая — прямую CD
, т. е. равна расстоянию c
между скрещивающимися прямыми l
и m
. Диагонали грани параллелепипеда, содержащей ребро AB
тетраэдра ABCD
, равны a
и b
, а угол между ними равен углу между прямыми l
и m
, т. е. \alpha
. Тогда площадь этой грани равна \frac{1}{2}ab\sin\alpha
, а объём V_{1}
параллелепипеда равен произведению площади этой грани на высоту, т. е. V_{1}=\frac{1}{2}abc\sin\alpha
. Объём V
тетраэдра ABCD
равен трети объёма параллелепипеда (см. задачу 9265), следовательно,
V=\frac{1}{3}V_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}abc\sin\alpha=\frac{1}{6}abc\sin\alpha.