7245. На ребре DC
треугольной пирамиды ABCD
взята N
, причём CN=2DN
, а на продолжениях рёбер CA
и CB
за точки A
и B
соответственно — точки K
и M
, причём AC=2AK
и MB=2BC
. В каком отношении плоскость, проходящая через точки M
, N
и K
, делит объём пирамиды ABCD
?
Ответ. 3:32
.
Указание. Найдите отношения, в которых плоскость KMN
делит рёбра DB
и DA
пирамиды ABCD
.
Решение. Пусть прямые DB
и MN
пересекаются в точке P
, а прямые DA
и KN
— в точке Q
. Рассмотрим плоскость грани BCD
(рис. 2). Через точку D
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть T
— точка пересечения этой прямой с продолжением MN
. Из подобия треугольников DNT
и CNM
находим, что
DT=CM\cdot\frac{DN}{NC}=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}BM=\frac{3}{4}BM.
Из подобия треугольников DPT
и BPM
следует, что
\frac{DP}{PB}=\frac{DT}{BM}=\frac{3}{4}\cdot\frac{BM}{BM}=\frac{3}{4},
значит, \frac{DP}{DB}=\frac{3}{7}
.
Рассмотрим плоскость грани ACD
(рис. 3). Через точку D
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть F
— точка пересечения этой прямой с продолжением KN
. Из подобия треугольников DNF
и CNK
находим, что
DF=CK\cdot\frac{DN}{NC}=\frac{1}{2}CK=\frac{1}{2}\cdot3AK=\frac{3}{2}AK.
Из подобия треугольников DQF
и AQK
следует, что
\frac{DQ}{QA}=\frac{DF}{AK}=\frac{3}{2}\cdot\frac{AK}{AK}=\frac{3}{2},
значит, \frac{DQ}{DA}=\frac{3}{5}
. Поэтому
\frac{V_{NPQD}}{V_{ABCD}}=\frac{DN}{DC}\cdot\frac{DQ}{DA}\cdot\frac{DP}{DB}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{7}=\frac{3}{35}.
Пусть V_{1}
и V_{2}
— объёмы многогранников, на которые плоскость MNK
делит пирамиду ABCD
(рис. 1). Тогда \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{3}{32}
.