7249. Точки M
и N
— середины рёбер AA_{1}
и CC_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Прямые A_{1}C
, B_{1}M
и BN
попарно перпендикулярны. Найдите объём параллелепипеда, если известно, что A_{1}C=a
, B_{1}M=b
, BN=c
.
Ответ. \frac{1}{2}abc
.
Указание. Найдите объём пирамиды A_{1}MB_{1}D_{1}
, основание которой — прямоугольный треугольник MB_{1}D_{1}
.
Решение. Рассмотрим сечение данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M
, D_{1}
и B_{1}
. Поскольку MD_{1}\parallel BN
и BN\perp B_{1}M
, треугольник MB_{1}D_{1}
— прямоугольный. Если S
— его площадь, то
S=\frac{1}{2}MB_{1}\cdot MD_{1}=\frac{1}{2}bc.
Пусть O
— центр параллелограмма A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Плоскости MB_{1}D_{1}
и AA_{1}C_{1}C
пересекаются по прямой MO
, значит, прямая A_{1}C
пересекает плоскость треугольника MB_{1}D_{1}
в точке P
, лежащей на прямой MO
. Поскольку MO
— средняя линия треугольника AA_{1}C_{1}
,
A_{1}P=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}A_{1}C=\frac{1}{4}A_{1}C=\frac{1}{4}a.
Прямая A_{1}C
перпендикулярна двум пересекающимся прямым B_{1}M
и D_{1}M
плоскости MB_{1}D_{1}
, поэтому A_{1}P
— высота треугольной пирамиды A_{1}MB_{1}D_{1}
. Тогда
V_{A_{1}MB_{1}D_{1}}=\frac{1}{3}S_{\triangle MB_{1}D_{1}}\cdot A_{1}P=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}bc\cdot\frac{1}{4}a=\frac{1}{24}abc.
Пусть S
— площадь грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, h
— высота параллелепипеда, опущенная на эту грань. Тогда
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=Sh,~V_{A_{1}MB_{1}D_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{12}Sh.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=12V_{A_{1}MB_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}abc.