7258. Даны три вектора \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
. Докажите, что вектор \overrightarrow{c}
перпендикулярен вектору (\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})\overrightarrow{b}
.
Решение. По свойствам скалярного произведения (см. задачу 4900)
\overrightarrow{c}\cdot\left((\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})\overrightarrow{b}\right)=
=(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})=
=(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})=0.
Следовательно,
\overrightarrow{c}\perp\left((\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})\overrightarrow{b}\right).