7276. Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны. Основание тетраэдра — треугольник со сторонами a
, b
, c
. Найдите объём тетраэдра.
Ответ. \frac{1}{6}\sqrt{\frac{(a^{2}+c^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}{2}}
.
Указание. Достройте данный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Докажите, что построенный параллелепипед — прямоугольный.
Решение. Достроим данный тетраэдр ABCD
до параллелепипеда AKBLNDMC
(AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Пусть AB=CD=a
, AC=BD=b
и AD=BC=c
. Поскольку KL\parallel CD
и KD\parallel LC
, то KL=AB
, поэтому параллелограмм AKBL
— прямоугольник. Аналогично, все шесть граней параллелепипеда AKBLNDMC
— прямоугольники. Значит, параллелепипед AKBLNDMC
— прямоугольный.
Обозначим AK=x
, AL=y
, AN=z
. Тогда
x^{2}+y^{2}=a^{2},~y^{2}+z^{2}=b^{2},~x^{2}+z^{2}=c^{2}.
Сложим почленно первое и третье уравнение и вычтем из результата второе. Получим
x^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2}).
Аналогично,
y^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),~z^{2}=\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}).
Если V
— объём параллелепипеда, то
V=xyz=\sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\cdot\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}}\cdot\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}},
а так как объём V_{1}
тетраэдра ABCD
равен трети объёма параллелепипеда AKBLNDMC
(см. задачу 9265а), то
V_{1}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}}\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}=
=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{(a^{2}+c^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}{2}}.