7283. Докажите, что тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда точка пересечения медиан и центр описанной сферы совпадают.
Решение. Достаточность. Пусть точка G
пересечения медиан тетраэдра ABCD
совпадает с центром O
описанной сферы, M
и N
— середины рёбер CD
и AB
соответственно, Известно, что точки M
, N
и G
лежат на одной прямой, причём G
— середина отрезка MN
(см. задачу 7108).
Поскольку OD=OC
, отрезок OM
— медиана равнобедренного треугольника COD
, поэтому OM\perp CD
. Аналогично ON\perp AB
, а так как точка O
лежит на прямой MN
, то MN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
. Следовательно, тетраэдр ABCD
равногранный (см. задачу 7254).
Необходимость очевидна.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.