7290. Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны. Основание тетраэдра — треугольник со сторонами a
, b
, c
.
а) Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра.
б) Докажите, что медианы тетраэдра равны и найдите их длину.
Ответ. а) \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}
;
б) \frac{1}{3}\sqrt{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}
.
Указание. Описанный параллелепипед равногранного тетраэдра — прямоугольный (см. задачу 7267).
Решение. а) Этот тетраэдр равногранный, так как все его грани — равные треугольники. Описанный параллелепипед такого тетраэдра — прямоугольный (см. задачу 7267). Диагонали его граней равны a
, b
и c
.
Пусть x
, y
, z
— измерения этого параллелепипеда, а его диагональ равна d
. Тогда
x^{2}+y^{2}=c^{2},~x^{2}+z^{2}=b^{2},~y^{2}+z^{2}=a^{2},
откуда находим, что
d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Радиус R
сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда равен половине его диагонали, т. е.
R=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.
Осталось заметить, что эта сфера описана около исходного тетраэдра.
б) Пусть ABCD
— данный тетраэдр, а AB_{1}
— диагональ его описанного параллелепипеда. Тогда диагональ AB_{1}
проходит через точку M
пересечения медиан треугольника BCD
и делится ею в отношении 2:1
, считая от вершины A
(см. задачу 7212). Значит, AM
— медиана тетраэдра ABCD
и AM=\frac{2}{3}AB_{1}
. Поскольку диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, медианы тетраэдра ABCD
также равны.
Пусть m
— медиана тетраэдра ABCD
. Тогда
m=\frac{2}{3}\cdot2R=\frac{4}{3}R=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=
=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{1}{3}\sqrt{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.