7292. В конус вписан шар, объём которого относится к объёму конуса как 4:9
. Найдите высоту конуса, если радиус шара равен r
Ответ. h=3r
или h=6r
.
Решение. Пусть высота конуса равна h
, радиус основания конуса равен R
, объём шара равен V_{1}
, объём конуса равен V_{2}
. По условию задачи
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\frac{1}{3}\pi R^{2}h}=\frac{4r^{3}}{R^{2}h}=\frac{4}{9},
поэтому R^{2}=\frac{9r^{3}}{h}
.
Пусть S
— вершина конуса, O
— центр шара. Проведём осевое сечение конуса. Получим равнобедренный треугольник ASB
и вписанную в него окружность радиуса r
с центром O
. Если SH
— высота треугольника треугольника ASB
, а P
— точка касания вписанной окружности со стороной SB
, то треугольник SPO
подобен треугольнику SHB
, поэтому \frac{OP}{OS}=\frac{HB}{SB}
, или
\frac{r}{h-r}=\frac{R}{\sqrt{h^{2}+R^{2}}},~r^{2}(h^{2}+R^{2})=R^{2}(h-r)^{2},~
R^{2}h=r^{2}h+2rR^{2},~9r^{3}=r^{2}h+2r\cdot\frac{9r^{3}}{h},~h^{2}-9rh+18r^{2}=0.
Отсюда находим, что h=3r
или h=6r
.