7295. Основание треугольной пирамиды — прямоугольный треугольник. Боковые грани равновелики и все боковые рёбра равны 1. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Рассмотрим пирамиду ABCD
, в которой DA=DB=DC=1
, основание ABC
— прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
, катетами BC=a
, AC=b
, гипотенузой AB=c
, а боковые грани равновелики. Пусть DM=p
, DN=q
, DH=h
— высоты граней BDC
, ADC
и ABD
.
Из условия задачи следует, что \frac{1}{2}ap=\frac{1}{2}bq
, или
\frac{1}{2}a\sqrt{1-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{1}{2}b\sqrt{1-\frac{b^{2}}{4}},~a^{2}\left(1-\frac{a^{2}}{4}\right)=b^{2}\left(1-\frac{b^{2}}{4}\right),
4a^{2}-4b^{2}=a^{4}-b^{4},~(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-4)=0.
Предположим, что a^{2}+b^{2}=4
. Тогда c^{2}=a^{2}+b^{2}=4
, поэтому AB=c=2
, что невозможно, так как в этом случае DA+DB=1+1=2=AB
. Значит, a=b
. Поэтому треугольник ABC
равнобедренный, а AB=c=a\sqrt{2}
.
По теореме Пифагора получаем, что
q=p=DM=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{4}},~h=DH=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{2}}.
Треугольники BCD
и ADB
равновелики, поэтому
BC\cdot DM=AB\cdot DH,~\frac{a\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a}{2}\sqrt{1-\frac{a^{2}}{4}},
2-a^{2}=1-\frac{a^{2}}{4},~a=\frac{2}{\sqrt{3}},~h=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Тогда
S_{\triangle CDB}+S_{\triangle ADC}+S_{\triangle ADB}=3S_{\triangle ADB}=3\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot h=
=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}.