7296. Через сторону основания правильной треугольной пирамиды проведена плоскость перпендикулярно противоположному ребру. Найдите угол, образованный этой плоскостью с плоскостью основания, если объём отсечённой пирамиды, имеющей с данной общее основание, относится к объёму другой отсечённой пирамиды как 3:5
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть объём правильной пирамиды ABCD
с вершиной D
и высотой DH
равен V
, а плоскость, проведённая через ребро AB
перпендикулярно ребру DC
, пересекает это ребро в точке P
. Тогда объём пирамиды с вершиной P
и основанием ABC
равен \frac{3}{8}V
.
Пирамиды ABCD
и ABCP
имеют общее основание ABC
, поэтому отношение их высот равно отношению объёмов. Основание F
высоты PF
пирамиды ABCP
лежит на отрезке CH
, причём CH=\frac{3}{8}DH
. Из подобия прямоугольных треугольников PFC
и DHC
находим, что \frac{CF}{CH}=\frac{PF}{DH}=\frac{3}{8}
.
Положим CF=3x
. Тогда CH=8x
, а так как точки H
и F
лежат на медиане CM
основания ABC
, причём H
— центр этого треугольника, то
MH=\frac{1}{2}CH=4x,~FH=CH-CF=8x-3x=5x,~MF=4x+5x=9x.
Отрезок PF
— высота прямоугольного треугольника MPC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
PF^{2}=MF\cdot CF=9x\cdot3x=27x^{2},~PF=3x\sqrt{3}.
Заметим, что PMC
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями сечения и основания, и
\tg\angle PMC=\tg\angle PMF=\frac{PF}{MF}=\frac{3x\sqrt{3}}{9x}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Следовательно, \angle PMC=30^{\circ}
.