7301. Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD
(P
— вершина) со стороной основания a
и боковым ребром a
. Сфера с центром в точке O
проходит через точку A
и касается рёбер PB
и PD
в их серединах. Найдите объём пирамиды OPCD
.
Ответ. \frac{5a^{3}\sqrt{2}}{96}
.
Указание. Докажите, что центр сферы лежит на прямой AC
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер PB
и PD
соответственно, K
— центр основания ABCD
. Поскольку указанная сфера касается прямой PB
в точке M
, её центр O
лежит в плоскости, проходящей через точку M
перпендикулярно прямой PB
. Аналогично докажем, что точка O
лежит в плоскости, проходящей через точку N
перпендикулярно прямой PD
. Эти две плоскости пересекаются по прямой AC
. Значит, точка O
лежит на прямой AC
.
Обозначим KO=x
, OA=OM=ON=R
. Предположим, что точка O
лежит между точками A
и K
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника KOB
находим, что
OB^{2}=KO^{2}+KB^{2}=x^{2}+\frac{a^{2}}{2},
а так как OM
лежит в плоскости, перпендикулярной PB
, то OM\perp BM
, поэтому
R^{2}=OM^{2}=OB^{2}-BM^{2}=x^{2}+\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}=x^{2}+\frac{a^{2}}{4}.
С другой стороны,
R=OA=AK-KO=\frac{a\sqrt{2}}{2}-x.
Из уравнения
x^{2}+\frac{a^{2}}{4}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-x\right)^{2}
находим, что x=\frac{a\sqrt{2}}{8}
.
Если же точка O
лежит на отрезке CK
, то рассуждая аналогично, получим, что x\lt0
, что невозможно.
Далее находим:
\frac{CO}{AC}=\frac{CK+KO}{AC}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{a\sqrt{2}}{8}}{a\sqrt{2}}=\frac{5}{8},
S_{\triangle OCD}=\frac{CO}{AC}S_{\triangle ADC}=\frac{5}{8}\cdot\frac{a^{2}}{2}=\frac{5a^{2}}{16}.
Следовательно,
V_{OPCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle OCD}\cdot PK=\frac{1}{3}\cdot\frac{5a^{2}}{16}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{5a^{3}\sqrt{2}}{96}.