7314. Дан трёхгранный угол с вершиной O
и точка A
на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят точки B
и C
. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC
.
Ответ. Рассмотрим плоскость, параллельную грани OBC
и отстоящую от неё на треть расстояния между точкой A
и гранью OBC
. Искомое ГМТ — часть этой плоскости, лежащая внутри данного трёхгранного угла.
Решение. Пусть B
и C
— произвольные точки на рёбрах данного трёхгранного угла OABC
, K
— середина отрезка BC
, M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда \frac{AM}{AK}=\frac{2}{3}
. При гомотетии с центром A
и коэффициентом \frac{2}{3}
точка K
перейдёт в точку M
, плоскость OBC
— в плоскость \alpha
, проходящую через точку M
параллельно грани OBC
, а грань OBC
— в пересечение плоскости \alpha
с данным трёхгранным углом. Следовательно, каждая такая точка M
принадлежит этому пересечению.
Пусть теперь M
— произвольная точка построенного пересечения. При гомотетии с центром A
и коэффициентом \frac{3}{2}
это пересечение перейдёт в грань, противоположную ребру OA
, а точка M
— в некоторую точку K
, лежащую в этой грани. Известно, что для любой точки K
, лежащей внутри угла, найдётся отрезок BC
с концами на сторонах угла, для которого точка K
будет серединой. При этом \frac{AM}{AK}=\frac{3}{2}
. Следовательно, M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.