7316. В тетраэдре ABCD
ребро AB
перпендикулярно ребру CD
, P
— произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки O
до середин рёбер AC
и BD
равна сумме квадратов расстояний от точки P
до середин рёбер AD
и BC
.
Решение. Докажем сначала, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки пространства до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других его вершин.
Действительно, пусть KLMN
— прямоугольник со сторонами KL=a
и KN=b
(рис. 1). Выберем прямоугольную систему координат, направив ось OX
по лучу KL
, ось OY
— по лучу KN
, а ось OZ
по лучу с началом в точке K
и перпендикулярному плоскости прямоугольника. Пусть P(x;y;z)
— произвольная точка пространства. Найдём квадраты расстояний от этой точки до вершин K(0;0;0)
, L(a;0;0)
, M(a;b;0)
и N(0;b;0)
:
PK^{2}=(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
PL^{2}=(x-a)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2},
PM^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-0)^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+z^{2},
PN^{2}=(x-0)^{2}+(y-b)^{2}+(z-0)^{2}=x^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}.
Следовательно,
PK^{2}+PM^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})+\left((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}\right)=
=\left((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+\left(x^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}\right)=PL^{2}+PN^{2}.
Что и требовалось доказать.
Перейдём к нашей задаче (рис. 2). Пусть K
, L
, M
и N
— середины рёбер AC
, AD
, BD
и BC
соответственно. Тогда ML
и KN
— средние линии треугольников ABD
и ABC
, поэтому ML=\frac{1}{2}AB=KN
и ML\parallel AB\parallel KN
, значит, четырёхугольник KLMN
— параллелограмм, а так как KL\parallel CD
, KN\parallel AB
и AB\perp CD
, то это прямоугольник. Тогда по доказанному утверждению PM^{2}+PK^{2}=PL^{2}+PN^{2}
. Что и требовалось доказать.